Este ejercicio pertenece al modelo 0 de la Pau en Aragón y está dirigido al alumnado de 2º de Bachillerato en la asignatura de Matemáticas II. Es un ejemplo muy completo que combina dos bloques esenciales del currículo: por un lado, la probabilidad (distribución binomial, experimentos de Bernoulli, independencia), y por otro, el cálculo diferencial (derivadas y su interpretación a través del crecimiento o decrecimiento de funciones).
Desde CompartetusClases te ayudamos a entender no solo cómo se resuelve paso a paso, sino también por qué se hace así, explicando con claridad la teoría que hay detrás de cada paso. Este tipo de ejercicios es ideal para entrenar el razonamiento y la argumentación matemática que se exige en la PAU.
Ejercicio de Matemáticas II – Modelo 0 EvAU Aragón: Probabilidad y Derivadas
Gema y Fernando quieren conseguir una entrada gratuita para un evento. Para decidir quién se la queda, piensan en dos posibles formas de sorteo:
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Primer sorteo (monedas):
Cada uno lanza tres veces una moneda equilibrada (cara o cruz). Gana quien obtenga más caras. En caso de empate, van los dos al evento. -
Segundo sorteo (dados y funciones):
Cada uno elige una función derivable en los valores $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (los posibles resultados de un dado).
Se lanza un dado equilibrado tres veces para cada jugador. En cada tirada, si la derivada de la función evaluada en el número que ha salido es $\geq 0$, el jugador suma un punto.
Gana quien tenga más puntos. En caso de empate, van los dos al evento.
Fernando cree que con este segundo método hay mayor probabilidad de empate y propone usarlo. Se plantean entonces las siguientes cuestiones:
- ¿Tiene razón Fernando al pensar que la probabilidad de empate con el sorteo de las monedas sería $\frac{1}{3}$? En caso de no tener razón, ¿en cuánto se equivoca?
- Fernando elige como función $f(x) = \cos(2x)$. ¿Cuál es la probabilidad de que anote un punto en una tirada del dado?
- Propón una función que cumpla las características que busca Gema, una vez que conoce la función propuesta por Fernando.
- ¿Ha conseguido Fernando su propósito de aumentar la probabilidad de empate?
- Si Fernando hubiera visto la función $g(x) = e^x$ que tenía pensada Gema inicialmente, ¿cómo tendría que haber elegido su función para lograr la máxima probabilidad de empate?
Resolución del ejercicio de Matemáticas II – PAU
1. Lectura del Enunciado
- Primera idea: lanzar tres monedas. Quien saque más caras gana. Si empatan, van los dos.
- Segunda idea: usar funciones derivables y lanzar un dado. Se gana un punto si la derivada en el número que sale es mayor o igual que 0.
2. Herramientas de 2º de Bachillerato Empleadas
| Bloque | Conceptos | Aplicación |
|---|---|---|
| Probabilidad | Experimentos de Bernoulli, Binomial, Probabilidad de igualdad | Modelar número de caras o puntos |
| Análisis | Derivada, signo de la derivada | Convertir condiciones en puntuación |
| Contaje | Casos favorables | Determinar probabilidades exactas |
3. Sorteo con Monedas
- Cada jugador lanza 3 monedas → Binomial(3, 1/2)
- Probabilidad de empate:
P = 5/16 ≈ 0,3125
4. Sorteo con Dados y Funciones
Función de Fernando: f(x) = cos(2x) → f'(x) = –2sin(2x)
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | – | + | + | – | + | + |
⇒ Probabilidad de punto para Fernando: p = 4/6 = 2/3
b) Función para Gema:
Se propone g(x) = x² - 3x ⇒ g'(x) = 2x - 3
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) | – | + | + | + | + | + |
⇒ Probabilidad de punto para Gema: p = 5/6
c) ¿Ha aumentado la probabilidad de empate?
Usando Binomial(3, 2/3) y Binomial(3, 5/6):
Probabilidad de empate: P ≈ 0,3414
Es mayor que 0,3125, por tanto, Fernando ha conseguido su objetivo.
d) Si Gema usa g(x) = ex
g'(x) = ex > 0 para todo x, así que Gema obtiene siempre 3 puntos.
Para empatar, Fernando debería usar una función con f'(x) ≥ 0 en todos los valores (por ejemplo, f(x) = x² o f(x) = e2x).
Así, la probabilidad de empate sería 1 (empate asegurado).