Ejercicios de radicales resueltos para 4.º de ESO
42 ejercicios de radicales organizados por dificultad. Practica simplificación, sumas, restas, productos, racionalización, potencias, operaciones combinadas y ecuaciones con radicales.
1. Simplificación de radicales
Simplifica cada expresión hasta obtener un radical irreducible.
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√72 = √(36 · 2)
= √36 · √2
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√200 = √(100 · 2)
= 10√2
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√147 = √(49 · 3)
= 7√3
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∛54 = ∛(27 · 2)
= 3∛2
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⁴√80 = ⁴√(16 · 5)
= ⁴√16 · ⁴√5
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√(26 · 33)
= √(26 · 32 · 3)
= 23 · 3√3
2. Sumas y restas de radicales
Simplifica los radicales y realiza las operaciones indicadas.
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= 3 · 2√3 + 2 · 3√3 − 5√3
= 6√3 + 6√3 − 5√3
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= 10√2 − 6√2 + 3√2
= (10 − 6 + 3)√2
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= 3√5 + 4√5 − 5√5
= (3 + 4 − 5)√5
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= 20√3 − 4√3 + 9√3
= (20 − 4 + 9)√3
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= 7√2 − 4√2 + 2√2
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∛16 = 2∛2
∛54 = 3∛2
= 4∛2 + 3∛2 − 3∛2
3. Productos y potencias de radicales
Realiza las multiplicaciones, productos notables y potencias.
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= √90
= √(9 · 10)
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= 10√36
= 10 · 6
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= √144
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= (√5)2 − (√2)2
= 5 − 2
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= (2√3)2 + 2 · 2√3 · √2 + (√2)2
= 12 + 4√6 + 2
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= (3√2)2 − (√3)2
= 18 − 3
4. Racionalización de denominadores
Racionaliza los denominadores y simplifica los resultados.
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Multiplicamos numerador y denominador por √5.
(5√5)/5
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Multiplicamos por √3/√3.
= (3√3)/(2 · 3)
= (3√3)/6
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Multiplicamos por el conjugado √7 − √3.
= 4(√7 − √3)/(7 − 3)
= 4(√7 − √3)/4
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Multiplicamos por el conjugado 3 + √5.
= 2(3 + √5)/(9 − 5)
= 2(3 + √5)/4
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= √6/√2 + √2/√2
= √3 + 1
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Multiplicamos por √11 + √5.
= 6(√11 + √5)/(11 − 5)
= 6(√11 + √5)/6
5. Radicales de distintos índices
Calcula y simplifica las siguientes expresiones con raíces de diferentes índices.
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= ∛(16 · 54)
= ∛864
= ∛(216 · 4)
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Primero calculamos la raíz interior.
√81 = 9
Después, √9 = 3.
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(√12)2 = 12
√49 = 7
12 − 7 = 5
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= ∛(4 · 16)
= ∛64
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= √25 + √16
= 5 + 4
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⁴√16 = 2
√9 = 3
∛27 = 3
= 2 · 3 + 3
6. Ecuaciones con radicales
Resuelve las ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas.
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Elevamos ambos miembros al cuadrado.
x + 5 = 16
x = 16 − 5
Comprobación: √(11 + 5) = 4.
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2x + 1 = 25
2x = 24
Comprobación: √25 = 5.
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√(x + 9) = 5
x + 9 = 25
x = 16
Comprobación: √25 − 2 = 3.
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Como la raíz es no negativa, x ≥ 0.
3x + 4 = x2
x2 − 3x − 4 = 0
(x − 4)(x + 1) = 0
Posibles soluciones: x = 4, x = −1.
x = −1 no cumple la ecuación original.
Comprobación: √16 = 4.
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Necesitamos x ≥ 2.
x + 4 = (x − 2)2
x + 4 = x2 − 4x + 4
x2 − 5x = 0
x(x − 5) = 0
Posibles soluciones: x = 0, x = 5.
x = 0 no cumple la ecuación original.
Comprobación: √9 = 5 − 2.
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Elevamos al cuadrado.
x + 6 = 2x − 3
6 + 3 = 2x − x
x = 9
Comprobación: √15 = √15.
7. Operaciones combinadas con radicales
Seis ejercicios para poner a prueba todo lo trabajado.
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√50 = 5√2
√8 = 2√2
= (5√2 + 2√2)/√2
= 7√2/√2
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√12 = 2√3
√27 = 3√3
= (3√3)(2√3)
= 6 · 3
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√20 = 2√5
= (2√5 − 2√5)2
= 02
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Primer cuadrado: 9 + 2√14.
Segundo cuadrado: 9 − 2√14.
= 9 + 2√14 − 9 + 2√14
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Buscamos un cuadrado de binomio.
(2 + √5)2 = 4 + 4√5 + 5
= 9 + 4√5
Por tanto:
√(9 + 4√5) = √((2 + √5)2)
Como 2 + √5 es positivo:
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Aplicamos el producto de conjugados.
= (√18)2 − (√8)2
= 18 − 8