Logaritmos para 4º ESO con teoría y ejercicios resueltos

Logaritmos para 4º ESO: teoría y ejercicios resueltos paso a paso

Aprende los logaritmos desde cero con explicaciones claras, ejemplos resueltos paso a paso y ejercicios de dificultad progresiva. Empezaremos con el nivel de 4º ESO y avanzaremos poco a poco hasta ejercicios propios de 1º de Bachillerato.

Contenido

1. ¿Qué es un logaritmo? · 2. Condiciones · 3. Tipos de logaritmos · 4. Propiedades · 5. Cambio de base · 6. Cálculo · 7. Ecuaciones logarítmicas · 8. Ecuaciones exponenciales · 9. Ejercicios propuestos

1. ¿Qué es un logaritmo?

Idea fundamental: un logaritmo responde a una pregunta: ¿a qué exponente tengo que elevar una base para obtener un número determinado?

Observa esta potencia:

2³ = 8

Podemos escribir exactamente la misma información utilizando un logaritmo:

log₂ 8 = 3

Por tanto:

a^b = c ⇔ log_a c = b

Ejemplo 1

Calcula:

log₃ 81

Nos preguntamos:

¿3 elevado a qué número da 81?

Como:

3⁴ = 81

entonces:

log₃ 81 = 4

Ejemplo 2

Calcula:

log₅ (1/25)

Sabemos que:

1/25 = 5⁻²

Por tanto:

log₅ (1/25) = −2

Truco: cuando puedas escribir el número que aparece dentro del logaritmo como una potencia de la base, el ejercicio casi siempre será inmediato.

2. Condiciones para que exista un logaritmo

En una expresión del tipo:

log_a x

deben cumplirse tres condiciones fundamentales:

Elemento	Condición	Explicación
Base	a > 0	La base debe ser positiva.
Base	a ≠ 1	La base no puede ser 1.
Argumento	x > 0	El número dentro del logaritmo tiene que ser positivo.

Muy importante:

log 0 no existe.
log (−4) tampoco existe dentro de los números reales.

3. Logaritmo decimal y logaritmo neperiano

Logaritmo decimal

Cuando escribimos simplemente:

log x

la base es 10.

Por ejemplo:

log 1000 = 3

porque:

10³ = 1000

Logaritmo neperiano

El logaritmo neperiano tiene base e, siendo:

e ≈ 2,71828

Se representa mediante:

ln x

Por ejemplo:

ln(e⁴) = 4

4. Propiedades de los logaritmos

Estas propiedades permiten transformar expresiones complicadas en otras mucho más sencillas.

4.1. Logaritmo de un producto

log_a(x · y) = log_ax + log_ay

Ejemplo:

log₂(8 · 4) = log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5

4.2. Logaritmo de un cociente

log_a(x/y) = log_ax − log_ay

Ejemplo:

log₃(81/9) = log₃81 − log₃9 = 4 − 2 = 2

4.3. Logaritmo de una potencia

log_a(xⁿ) = n · log_ax

Ejemplo:

log₂(8²) = 2 · log₂8 = 2 · 3 = 6

4.4. Dos resultados fundamentales

log_a1 = 0

porque a⁰ = 1.

log_aa = 1

porque a¹ = a.

Error muy frecuente:

log(x + y) ≠ log x + log y

No existe ninguna propiedad para separar una suma o una resta que esté dentro de un logaritmo.

5. Cambio de base

Las calculadoras normalmente incluyen las teclas log y ln, pero no tienen una tecla para cada posible base.

Podemos calcular cualquier logaritmo mediante:

log_ab = log b / log a

Ejemplo

Calcula log₂7:

log₂7 = log 7 / log 2 ≈ 2,807

6. Cómo calcular logaritmos directamente

Ejemplo A

Calcula log₄64.

Buscamos qué potencia de 4 produce 64.
Sabemos que 4³ = 64.
Por tanto:

log₄64 = 3

Ejemplo B

Calcula log_1/28.

Planteamos:

(1/2)^x = 8

Como:

(1/2)^x = 2^−x y 8 = 2³

igualamos exponentes:

−x = 3

x = −3

Ejemplo C

Calcula log₉3.

Como 9 = 3²:

(3²)^x = 3

3^2x = 3¹

Por tanto:

2x = 1

x = 1/2

7. Ecuaciones logarítmicas

Pasos recomendados:

Determina qué valores puede tomar x.
Recuerda que el interior de cualquier logaritmo debe ser positivo.
Utiliza las propiedades de los logaritmos.
Pasa a forma exponencial cuando sea posible.
Resuelve la ecuación.
Comprueba que la solución cumple las condiciones iniciales.

Ejemplo D

Resuelve:

log₂x = 5

Pasamos a forma exponencial:

x = 2⁵

x = 32

Ejemplo E

Resuelve:

log(x − 1) = 2

Pasamos a forma exponencial:

x − 1 = 10²

x − 1 = 100

x = 101

Ejemplo F

Resuelve:

log₃(x + 5) − log₃(x − 1) = 1

Primero estudiamos el dominio:

x − 1 > 0 → x > 1

Aplicamos la propiedad del cociente:

log₃((x + 5)/(x − 1)) = 1

Pasamos a forma exponencial:

(x + 5)/(x − 1) = 3

x + 5 = 3x − 3

8 = 2x

x = 4

Como 4 > 1, la solución es válida.

Ejemplo G

Resuelve:

log₂(x − 2) + log₂(x + 2) = 3

Dominio:

x > 2

Aplicamos la propiedad del producto:

log₂((x − 2)(x + 2)) = 3

(x − 2)(x + 2) = 8

x² − 4 = 8

x² = 12

Las posibles soluciones serían ±2√3, pero el dominio exige x > 2.

x = 2√3

8. Ecuaciones exponenciales que necesitan logaritmos

Algunas ecuaciones exponenciales no pueden escribirse utilizando la misma base. En ese caso podemos utilizar logaritmos.

Ejemplo H

Resuelve:

3^x = 20

Tomamos logaritmos:

log(3^x) = log 20

El exponente pasa delante:

x · log 3 = log 20

Despejamos:

x = log 20 / log 3 ≈ 2,727

Ejemplo I

Resuelve:

5^{2x − 1} = 17

Tomamos logaritmos:

(2x − 1) · log 5 = log 17

2x − 1 = log 17 / log 5

2x = 1 + log 17 / log 5

x ≈ 1,380

9. Expresar logaritmos en función de otros

Supongamos que:

log 2 = a y log 3 = b

Queremos expresar log 72 utilizando únicamente a y b.

Descomponemos 72:

72 = 2³ · 3²

Entonces:

log 72 = log(2³ · 3²)

log 72 = 3 log 2 + 2 log 3

log 72 = 3a + 2b

10. Errores frecuentes con logaritmos

Error 1:
log(x + y) = log x + log y.
Es falso.

Error 2:
olvidarse del dominio. El número que aparece dentro de cualquier logaritmo debe ser positivo.

Error 3:
aceptar automáticamente todas las soluciones de una ecuación sin comprobarlas.

Error 4:
olvidar que el resultado de un logaritmo representa un exponente.

11. Ejercicios de logaritmos propuestos

Los ejercicios están ordenados de menor a mayor dificultad. Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

Nivel 1 · 4º ESO básico

Definición y cálculo directo

1. Calcula log₂32.

Ver solución

Como 2⁵ = 32, la solución es 5.

2. Calcula log₅125.

Ver solución

Como 5³ = 125, la solución es 3.

3. Calcula log₃(1/27).

Ver solución

1/27 = 3⁻³, por tanto la solución es −3.

4. Calcula log 0,001.

Ver solución

0,001 = 10⁻³, por tanto log 0,001 = −3.

5. Calcula log₉3.

Ver solución

Como 9^1/2 = 3, la solución es 1/2.

Nivel 2 · 4º ESO

Propiedades de los logaritmos

6. Calcula log 4 + log 25.

Ver solución

log 4 + log 25 = log(4 · 25) = log 100 = 2.

7. Calcula log₂96 − log₂3.

Ver solución

log₂(96/3) = log₂32 = 5.

8. Calcula 3 log₂4 − log₂8.

Ver solución

3 · 2 − 3 = 3.

9. Reduce a un único logaritmo: log x + log y − log z.

Ver solución

log(xy/z).

10. Reduce a un único logaritmo: 2 log a − ½ log b.

Ver solución

log(a²/√b).

Nivel 3 · 4º ESO avanzado

Ecuaciones logarítmicas sencillas

11. Resuelve log₄x = 3.

Ver solución

x = 4³ = 64.

12. Resuelve log(x + 2) = 1.

Ver solución

x + 2 = 10, por tanto x = 8.

13. Resuelve log₃(2x − 1) = 2.

Ver solución

2x − 1 = 9
2x = 10
x = 5.

14. Resuelve log₂(x + 1) = log₂7.

Ver solución

x + 1 = 7, por tanto x = 6.

15. Resuelve log₅(x − 4) = 0.

Ver solución

x − 4 = 5⁰ = 1
x = 5.

Nivel 4 · Puente a Bachillerato

Ecuaciones utilizando propiedades

16. Resuelve log₂x + log₂(x − 2) = 3.

Ver solución

Dominio: x > 2.

log₂(x(x − 2)) = 3

x(x − 2) = 8

x² − 2x − 8 = 0

(x − 4)(x + 2) = 0

Por el dominio, x = 4.

17. Resuelve log₃(x + 4) − log₃(x − 2) = 1.

Ver solución

Dominio: x > 2.

log₃((x + 4)/(x − 2)) = 1

(x + 4)/(x − 2) = 3

x + 4 = 3x − 6

x = 5.

18. Resuelve 2 log x = log 16.

Ver solución

2 log x = log(x²)

x² = 16.

Como x debe ser positivo, x = 4.

19. Resuelve log(x − 1) + log(x + 1) = log 15.

Ver solución

Dominio: x > 1.

(x − 1)(x + 1) = 15

x² − 1 = 15

x² = 16

Por el dominio, x = 4.

20. Resuelve log₂(x² − 1) − log₂(x − 1) = 3.

Ver solución

Dominio: x > 1.

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

log₂(x + 1) = 3

x + 1 = 8

x = 7.

Nivel 5 · 1º Bachillerato

Cambio de base y exponenciales

21. Resuelve 7^x = 30.

Ver solución

x = log 30 / log 7 ≈ 1,748.

22. Resuelve 2^{3x + 1} = 15.

Ver solución

(3x + 1) log 2 = log 15

3x + 1 = log 15 / log 2

x ≈ 0,969.

23. Calcula log₄11 mediante cambio de base.

Ver solución

log₄11 = log 11 / log 4 ≈ 1,730.

24. Si log 2 = a y log 5 = b, expresa log 200.

Ver solución

200 = 2³ · 5²

log 200 = 3 log 2 + 2 log 5 = 3a + 2b.

25. Si log 2 = a y log 3 = b, expresa log(27/8).

Ver solución

27 = 3³ y 8 = 2³.

log(27/8) = 3 log 3 − 3 log 2 = 3b − 3a.

Nivel 6 · Reto de 1º Bachillerato

26. Resuelve log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3.

Ver solución

Dominio: x > 3.

(x − 1)(x − 3) = 8

x² − 4x − 5 = 0

(x − 5)(x + 1) = 0

Por el dominio, x = 5.

27. Resuelve log₃(x + 8) = 2 + log₃x.

Ver solución

2 = log₃9

log₃(x + 8) = log₃(9x)

x + 8 = 9x

x = 1.

28. Resuelve log(x² − 5x + 6) = 0.

Ver solución

x² − 5x + 6 = 1

x² − 5x + 5 = 0

x = (5 ± √5)/2.

29. Resuelve log₂(x + 6) − log₂x = 2.

Ver solución

Dominio: x > 0.

(x + 6)/x = 4

x + 6 = 4x

x = 2.

30. Resuelve log₅(x + 4) + log₅(x − 4) = 2.

Ver solución

Dominio: x > 4.

(x + 4)(x − 4) = 25

x² − 16 = 25

x² = 41

Por el dominio, x = √41.

31. Resuelve 4^{x − 1} = 7.

Ver solución

(x − 1) log 4 = log 7

x = 1 + log 7 / log 4

x ≈ 2,404.

32. Resuelve ln(x − 2) = 1.

Ver solución

x − 2 = e

x = e + 2.

33. Resuelve ln x + ln(x − 1) = ln 6.

Ver solución

Dominio: x > 1.

x(x − 1) = 6

x² − x − 6 = 0

(x − 3)(x + 2) = 0

Por el dominio, x = 3.

34. Resuelve log₂x = (log₂27)/3.

Ver solución

(log₂27)/3 = log₂(27^1/3) = log₂3

Por tanto, x = 3.

35. Reto final: resuelve log₃(x − 1) = log₉(x + 7).

Ver solución completa

Como:

log₉A = ½ log₃A

podemos escribir:

log₃(x − 1) = ½ log₃(x + 7)

Multiplicamos por 2:

2 log₃(x − 1) = log₃(x + 7)

Aplicamos la propiedad de la potencia:

log₃((x − 1)²) = log₃(x + 7)

Por tanto:

(x − 1)² = x + 7

x² − 3x − 6 = 0

Las soluciones son:

x = (3 ± √33)/2

Como el dominio exige x > 1, únicamente es válida:

x = (3 + √33)/2

12. Resumen rápido para estudiar

Un logaritmo representa un exponente.
a^b = c equivale a log_ac = b.
La base debe ser positiva y distinta de 1.
El interior de cualquier logaritmo debe ser positivo.
El logaritmo de un producto se convierte en una suma.
El logaritmo de un cociente se convierte en una resta.
En una potencia, el exponente pasa delante del logaritmo.
Una suma dentro de un logaritmo no puede separarse.
En ecuaciones logarítmicas debes comprobar siempre las soluciones.
Los logaritmos permiten resolver ecuaciones exponenciales cuando no podemos escribir ambos miembros con la misma base.

¿Te parecen difíciles los logaritmos?

Empieza por comprender qué significa realmente un logaritmo y trabaja los ejercicios en orden. No intentes memorizar muchos tipos diferentes de problemas: aprende a reconocer la idea matemática que hay detrás de cada uno.