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Ecuaciones resueltas paso a paso: 42 ejercicios de 4.º ESO y Bachillerato

Academia Compartetusclases · Recursos de Matemáticas

42 ecuaciones resueltas paso a paso

De segundo grado, factorizables, bicuadradas, bicúbicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales y con valor absoluto. Practica por tu cuenta y descubre el procedimiento completo solo cuando lo necesites.

4.º ESO y Bachillerato42 ejerciciosSoluciones desplegablesDe básico a avanzado

¿Te cuesta reconocer qué método utilizar en cada ecuación? En esta guía de Academia Compartetusclases, en Salamanca, encontrarás ejercicios resueltos de ecuaciones con explicaciones detalladas, recordatorios del dominio y comprobaciones. Es un recurso de apoyo para Matemáticas de 4.º de ESO y Bachillerato, tanto si estudias en Salamanca como si preparas tus exámenes desde casa.

Cómo utilizar esta ficha: elige un bloque, intenta resolver cada ejercicio en el cuaderno y pulsa en «Ver solución paso a paso» para contrastar el método. Recuerda que trabajamos con soluciones reales; cuando un ejercicio no tenga ninguna, lo indicaremos expresamente.

Las tres comprobaciones que no debes olvidar: denominadores distintos de cero, radicandos de raíces cuadradas no negativos y argumentos de logaritmos estrictamente positivos.

Bloque 1 de 8 · Iniciación · 4.º ESO

1. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas

Identifica primero si falta el término lineal o el independiente. Las incompletas suelen resolverse sin aplicar la fórmula general.

Ejercicio 1

Completa con dos raíces enteras

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Ver solución paso a paso

1.Identificamos los coeficientes: a = 1, b = −5 y c = 6. Aplicamos la fórmula general.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}

2.Calculamos el discriminante.

Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

3.Sustituimos y simplificamos.

x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

4.Separamos los dos signos.

x_{1} = 3, x_{2} = 2

Solución real

S = {2,3}

Ejercicio 2

Completa con solución fraccionaria

2 x^{2} + x - 3 = 0

Ver solución paso a paso

1.Los coeficientes son a = 2, b = 1 y c = −3.

Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25

2.Aplicamos la fórmula y separamos los signos.

x = \frac{- 1 \pm 5}{4}

3.Obtenemos las dos raíces.

x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{3}{2}

Solución real

S = {1, - \frac{3}{2}}

Ejercicio 3

Incompleta: falta el término en x

x^{2} - 9 = 0

Ver solución paso a paso

1.Despejamos el cuadrado.

x^{2} = 9

2.Al extraer la raíz cuadrada, añadimos los dos signos.

x = \pm \sqrt{9} = \pm 3

Solución real

S = {- 3,3}

Ejercicio 4

Incompleta: falta el término independiente

3 x^{2} - 12 x = 0

Ver solución paso a paso

1.Sacamos factor común.

3 x (x - 4) = 0

2.Por la propiedad del producto nulo, uno de los factores debe valer cero.

3 x = 0 \lor x - 4 = 0

3.Resolvemos cada alternativa.

x = 0 \lor x = 4

Solución real

S = {0,4}

Ejercicio 5

Incompleta: diferencia de cuadrados

5 x^{2} - 20 = 0

Ver solución paso a paso

1.Dividimos todos los términos entre 5.

x^{2} - 4 = 0

2.Factorizamos como diferencia de cuadrados.

(x - 2) (x + 2) = 0

3.Igualamos cada factor a cero.

x = 2 \lor x = - 2

Solución real

S = {- 2,2}

Ejercicio 6

Raíz doble: trinomio cuadrado perfecto

x^{2} + 4 x + 4 = 0

Ver solución paso a paso

1.Reconocemos un cuadrado perfecto.

(x + 2)^{2} = 0

2.Un cuadrado vale cero solo cuando su base es cero.

x + 2 = 0

3.La única solución real es −2, con multiplicidad dos.

x = - 2

Solución real

S = {- 2}

Ejercicio 7

Ecuación sin soluciones reales

x^{2} + 2 x + 5 = 0

Ver solución paso a paso

1.Calculamos el discriminante.

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 16

2.Como el discriminante es menor que cero, la raíz cuadrada de Δ no existe en los números reales.

Δ < 0

3.Concluimos en el conjunto de los números reales.

S = \emptyset

Solución real

S = \emptyset

Consejo del profesor: Si el discriminante es negativo, no hay soluciones reales. No confundas una raíz doble con dos soluciones distintas.

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Bloque 2 de 8 · Intermedio · 4.º ESO y Bachillerato

2. Ecuaciones de grado superior factorizables

Cuando aparece un polinomio de cuarto, quinto o mayor grado, busca factor común, agrupación, identidades notables o raíces sencillas para aplicar Ruffini.

Ejercicio 8

Grado 4: agrupación de términos

x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12 = 0

Ver solución paso a paso

1.Reagrupamos para construir dos grupos con el mismo factor.

x^{2} (x^{2} - 2 x - 3) - 4 (x^{2} - 2 x - 3) = 0

2.Extraemos el factor común x² − 2x − 3.

(x^{2} - 4) (x^{2} - 2 x - 3) = 0

3.Factorizamos la diferencia de cuadrados y el trinomio.

(x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 1) = 0

4.Igualamos cada factor a cero.

x = 2, x = - 2, x = 3, x = - 1

Solución real

S = {- 2, - 1,2, 3}

Ejercicio 9

Grado 4: factor común y agrupación

x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x = 0

Ver solución paso a paso

1.Todos los términos tienen x: la sacamos factor común.

x (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = 0

2.Agrupamos dentro del paréntesis.

x [x^{2} (x - 3) - (x - 3)] = 0

3.Extraemos x − 3 y factorizamos.

x (x - 3) (x^{2} - 1) = 0

4.Aplicamos la diferencia de cuadrados y el producto nulo.

x (x - 3) (x - 1) (x + 1) = 0

Solución real

S = {- 1,0, 1,3}

Ejercicio 10

Grado 4: Ruffini después de extraer x

x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x = 0

Ver solución paso a paso

1.Sacamos x como factor común.

x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) = 0

2.Comprobamos que x = 1 anula el polinomio cúbico.

1 - 6 + 11 - 6 = 0

3.Al dividir entre x − 1 por Ruffini queda el cociente x² − 5x + 6.

x (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0

4.Factorizamos el trinomio restante.

x (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

Solución real

S = {0,1, 2,3}

Ejercicio 11

Grado 5: factor común y multiplicidad

x^{5} - x^{3} = 0

Ver solución paso a paso

1.Extraemos x³.

x^{3} (x^{2} - 1) = 0

2.Descomponemos la diferencia de cuadrados.

x^{3} (x - 1) (x + 1) = 0

3.El cero es raíz triple, aunque se cuenta como un único valor de la solución.

x = 0, x = 1, x = - 1

Solución real

S = {- 1,0, 1}

Ejercicio 12

Grado 4: diferencias de cuadrados sucesivas

x^{4} - 16 = 0

Ver solución paso a paso

1.Reconocemos una diferencia de cuadrados.

(x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = 0

2.Volvemos a factorizar el primer factor.

(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) = 0

3.La ecuación x² + 4 = 0 no tiene raíces reales.

x^{2} = - 4

4.Los factores lineales aportan las soluciones reales.

x = 2 \lor x = - 2

Solución real

S = {- 2,2}

Consejo del profesor: En una factorización completa, iguala cada factor a cero. Si un factor no admite raíces reales, no genera soluciones reales.

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Bloque 3 de 8 · Intermedio · Bachillerato

3. Ecuaciones bicuadradas y bicúbicas

En las bicuadradas aparecen x⁴ y x²; en las bicúbicas, x⁶ y x³. El cambio de variable convierte la ecuación en una de segundo grado.

Ejercicio 13

Bicuadrada con cuatro soluciones

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Ver solución paso a paso

1.Hacemos el cambio t = x², de modo que x⁴ = t².

t^{2} - 5 t + 4 = 0

2.Factorizamos.

(t - 1) (t - 4) = 0

3.Obtenemos t = 1 o t = 4. Deshacemos el cambio.

x^{2} = 1 \lor x^{2} = 4

4.Cada valor positivo de t aporta dos raíces.

x = \pm 1, x = \pm 2

Solución real

S = {- 2, - 1,1, 2}

Ejercicio 14

Bicuadrada: una raíz auxiliar negativa

x^{4} + 2 x^{2} - 8 = 0

Ver solución paso a paso

1.Sustituimos t = x².

t^{2} + 2 t - 8 = 0

2.Factorizamos el polinomio auxiliar.

(t + 4) (t - 2) = 0

3.Las soluciones de t son −4 y 2. Descartamos t = −4 porque x² no puede ser negativo en ℝ.

x^{2} = 2

4.Deshacemos el cambio.

x = \pm \sqrt{2}

Solución real

S = {- \sqrt{2}, \sqrt{2}}

Ejercicio 15

Bicuadrada con resultados irracionales

2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0

Ver solución paso a paso

1.Sustituimos t = x².

2 t^{2} - 7 t + 3 = 0

2.Usamos la fórmula general.

t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}

3.Los dos valores de t son positivos.

t = 3 \lor t = \frac{1}{2}

4.Deshacemos el cambio y racionalizamos cuando es necesario.

x = \pm \sqrt{3}, x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Solución real

S = {- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3}}

Ejercicio 16

Bicúbica con dos soluciones reales

x^{6} - 9 x^{3} + 8 = 0

Ver solución paso a paso

1.Introducimos t = x³, luego x⁶ = t².

t^{2} - 9 t + 8 = 0

2.Factorizamos.

(t - 1) (t - 8) = 0

3.Deshacemos el cambio con la raíz cúbica real.

x^{3} = 1 \lor x^{3} = 8

4.Calculamos las raíces cúbicas.

x = 1 \lor x = 2

Solución real

S = {1,2}

Ejercicio 17

Bicúbica: admite un cubo negativo

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

Ver solución paso a paso

1.Tomamos t = x³.

t^{2} - 7 t - 8 = 0

2.Factorizamos.

(t - 8) (t + 1) = 0

3.Deshacemos el cambio.

x^{3} = 8 \lor x^{3} = - 1

4.La raíz cúbica de −1 existe en ℝ.

x = 2 \lor x = - 1

Solución real

S = {- 1,2}

Consejo del profesor: En una bicuadrada, un valor negativo de t = x² se descarta en los reales. En una bicúbica, t = x³ sí puede ser negativo.

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Bloque 4 de 8 · Intermedio · 4.º ESO y Bachillerato

4. Ecuaciones racionales con fracciones algebraicas

Antes de eliminar denominadores, anota los valores prohibidos. Multiplica por el mínimo común múltiplo y comprueba las soluciones en la ecuación original.

Ejercicio 18

Una fracción algebraica

\frac{x + 1}{x - 2} = 3

Ver solución paso a paso

1.El denominador no puede valer cero.

x \neq 2

2.Multiplicamos ambos miembros por x − 2.

x + 1 = 3 (x - 2)

3.Resolvemos la ecuación lineal.

x + 1 = 3 x - 6 \Rightarrow 7 = 2 x

4.La solución no está excluida del dominio.

x = \frac{7}{2}

Solución real

S = {\frac{7}{2}}

Ejercicio 19

Suma de fracciones con distinto denominador

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 1

Ver solución paso a paso

1.Anotamos los valores prohibidos.

x \neq 1, x \neq - 1

2.Unificamos usando (x − 1)(x + 1).

\frac{(x + 1) + (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)} = 1

3.Simplificamos y eliminamos el denominador.

2 x = x^{2} - 1

4.Resolvemos la ecuación de segundo grado.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}

5.Ambas raíces respetan las restricciones.

x = 1 + \sqrt{2} \lor x = 1 - \sqrt{2}

Solución real

S = {1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}}

Ejercicio 20

Racional que se transforma en cuadrática

\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = 1

Ver solución paso a paso

1.Excluimos los valores que anulan denominadores.

x \neq 0, x \neq - 1

2.Multiplicamos por x(x + 1).

2 (x + 1) + 3 x = x (x + 1)

3.Pasamos todo al mismo miembro.

x^{2} - 4 x - 2 = 0

4.Aplicamos la fórmula general.

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}

5.Ninguna raíz es 0 ni −1.

x = 2 + \sqrt{6} \lor x = 2 - \sqrt{6}

Solución real

S = {2 - \sqrt{6}, 2 + \sqrt{6}}

Ejercicio 21

Una solución aparente que debe rechazarse

\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6

Ver solución paso a paso

1.Antes de simplificar, imponemos la restricción.

x \neq 3

2.Factorizamos el numerador.

\frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = 6

3.Simplificamos únicamente para x distinto de 3.

x + 3 = 6

4.El único candidato es x = 3, pero anula el denominador original.

x = 3 no es válido

5.La ecuación no tiene solución real.

S = \emptyset

Solución real

S = \emptyset

Ejercicio 22

Dos cocientes con producto cruzado

\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x + 1}

Ver solución paso a paso

1.El dominio exige excluir ±1.

x \neq 1, x \neq - 1

2.Multiplicamos en cruz.

(x + 2) (x + 1) = (2 x - 1) (x - 1)

3.Desarrollamos ambos miembros.

x^{2} + 3 x + 2 = 2 x^{2} - 3 x + 1

4.Reordenamos y resolvemos la cuadrática.

x^{2} - 6 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{10}

5.Las dos soluciones son distintas de ±1.

x = 3 + \sqrt{10} \lor x = 3 - \sqrt{10}

Solución real

S = {3 - \sqrt{10}, 3 + \sqrt{10}}

Consejo del profesor: Nunca aceptes un valor que anula un denominador, aunque aparezca al resolver la ecuación transformada.

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Bloque 5 de 8 · Intermedio y avanzado · Bachillerato

5. Ecuaciones irracionales con radicales

Aísla la raíz antes de elevar al cuadrado y comprueba siempre los candidatos. La operación de elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas.

Ejercicio 23

Raíz cuadrada con candidato extraño

\sqrt{x + 5} = x - 1

Ver solución paso a paso

1.La raíz exige x + 5 ≥ 0 y el segundo miembro x − 1 ≥ 0; conjuntamente, x ≥ 1.

x \geq 1

2.Elevamos al cuadrado ambos miembros.

x + 5 = (x - 1)^{2}

3.Desarrollamos y factorizamos.

x^{2} - 3 x - 4 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 1) = 0

4.Los candidatos son 4 y −1; −1 no cumple x ≥ 1.

x = 4

5.Comprobación en la original.

\sqrt{4 + 5} = 4 - 1 = 3

Solución real

S = {4}

Ejercicio 24

Igualdad entre radical y variable

\sqrt{2 x + 3} = x

Ver solución paso a paso

1.La parte derecha debe ser no negativa.

x \geq 0

2.Elevamos al cuadrado.

2 x + 3 = x^{2}

3.Reordenamos y factorizamos.

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1) = 0

4.Descartamos −1 por ser negativo; comprobamos x = 3.

\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 3

Solución real

S = {3}

Ejercicio 25

Radical con suma externa

\sqrt{x + 1} + 1 = x

Ver solución paso a paso

1.Aislamos el radical y exigimos que el otro miembro sea no negativo.

\sqrt{x + 1} = x - 1, x \geq 1

2.Elevamos al cuadrado.

x + 1 = (x - 1)^{2}

3.Simplificamos.

x^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x (x - 3) = 0

4.De los candidatos 0 y 3, solo 3 respeta el dominio.

x = 3

5.Lo verificamos en la original.

\sqrt{3 + 1} + 1 = 2 + 1 = 3

Solución real

S = {3}

Ejercicio 26

Dos radicales en la ecuación

\sqrt{x + 4} = \sqrt{2 x - 1}

Ver solución paso a paso

1.Los dos radicandos deben ser no negativos.

x + 4 \geq 0, 2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}

2.Elevamos al cuadrado ambos miembros.

x + 4 = 2 x - 1

3.Despejamos y comprobamos.

x = 5, \sqrt{9} = \sqrt{9}

Solución real

S = {5}

Ejercicio 27

Dos radicales: aislamiento y doble comprobación

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1} = 2

Ver solución paso a paso

1.Los radicandos exigen x ≥ 1. Aislamos una raíz.

\sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x - 1}

2.Cuadramos. Toda la expresión de la derecha queda elevada.

x + 5 = 4 + 4 \sqrt{x - 1} + (x - 1)

3.Simplificamos la igualdad obtenida.

2 = 4 \sqrt{x - 1} \Rightarrow \sqrt{x - 1} = \frac{1}{2}

4.Elevamos al cuadrado otra vez y despejamos.

x - 1 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{5}{4}

5.Comprobación en la ecuación original.

\sqrt{\frac{25}{4}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2

Solución real

S = {\frac{5}{4}}

Consejo del profesor: La raíz cuadrada principal es no negativa. Si queda igualada a una expresión, esa expresión también debe ser no negativa.

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Bloque 6 de 8 · Intermedio · 4.º ESO y Bachillerato

6. Ecuaciones logarítmicas

Antes de aplicar propiedades, comprueba que el argumento de cada logaritmo sea estrictamente positivo. Después utiliza producto, cociente o equivalencia exponencial.

Ejercicio 28

Un logaritmo en base 2

\log_{2} (x - 1) = 3

Ver solución paso a paso

1.El argumento tiene que ser positivo.

x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

2.Pasamos a forma exponencial.

x - 1 = 2^{3} = 8

3.Despejamos y validamos el dominio.

x = 9

Solución real

S = {9}

Ejercicio 29

Suma de logaritmos

\log_{3} (x + 2) + \log_{3} (x - 2) = 2

Ver solución paso a paso

1.Ambos argumentos deben ser positivos, por lo que x > 2.

x > 2

2.Aplicamos la propiedad del producto.

\log_{3} ((x + 2) (x - 2)) = 2

3.Pasamos a forma exponencial y desarrollamos.

x^{2} - 4 = 3^{2} = 9

4.Obtenemos dos candidatos, pero solo el positivo supera 2.

x = \pm \sqrt{13}

Solución real

S = {\sqrt{13}}

Ejercicio 30

Logaritmo decimal y dominio

\log (x) + \log (x - 9) = 1

Ver solución paso a paso

1.Cuando no se indica base en log, usamos base 10. El dominio exige x > 9.

x > 9

2.Unimos los logaritmos en un producto.

\log (x (x - 9)) = 1

3.Aplicamos la equivalencia con potencias.

x (x - 9) = 10^{1} = 10

4.Factorizamos el polinomio resultante.

x^{2} - 9 x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 10) (x + 1) = 0

5.De x = 10 y x = −1, solo x = 10 cumple el dominio.

x = 10

Solución real

S = {10}

Ejercicio 31

Igualdad de logaritmos neperianos

\ln (x + 1) = \ln (3 x - 1)

Ver solución paso a paso

1.Los argumentos han de ser positivos: x > −1 y x > 1/3.

x > \frac{1}{3}

2.Como ln es inyectiva, igualamos los argumentos.

x + 1 = 3 x - 1

3.Despejamos.

2 = 2 x \Rightarrow x = 1

4.Comprobamos que los dos argumentos valen 2.

\ln (2) = \ln (2)

Solución real

S = {1}

Ejercicio 32

Logaritmos en ambos miembros

\log_{2} (x) + \log_{2} (x - 2) = \log_{2} (3 x)

Ver solución paso a paso

1.El dominio común viene determinado por x > 2.

x > 2

2.Unimos los dos logaritmos de la izquierda.

\log_{2} (x (x - 2)) = \log_{2} (3 x)

3.Igualamos los argumentos.

x (x - 2) = 3 x

4.Factorizamos.

x^{2} - 5 x = 0 \Rightarrow x (x - 5) = 0

5.Descartamos 0 por el dominio.

x = 5

Solución real

S = {5}

Consejo del profesor: No se pueden separar logaritmos de sumas: log(a + b) no es log a + log b.

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Bloque 7 de 8 · Intermedio · Bachillerato

7. Ecuaciones exponenciales

Reduce las potencias a una misma base cuando puedas. Si aparecen potencias como 3²ˣ y 3ˣ, realiza un cambio de variable positivo.

Ejercicio 33

Expresiones con la misma base

2^{x + 1} = 16

Ver solución paso a paso

1.Escribimos 16 como una potencia de 2.

2^{x + 1} = 2^{4}

2.Con bases iguales y positivas distintas de 1, igualamos exponentes.

x + 1 = 4

3.Despejamos.

x = 3

Solución real

S = {3}

Ejercicio 34

Exponencial que se convierte en cuadrática

3^{2 x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0

Ver solución paso a paso

1.Hacemos el cambio t = 3ˣ, con t > 0.

t^{2} - 10 t + 9 = 0

2.Factorizamos la cuadrática.

(t - 1) (t - 9) = 0

3.Deshacemos el cambio para ambos valores.

3^{x} = 1 \lor 3^{x} = 9

4.Como 1 = 3⁰ y 9 = 3², obtenemos.

x = 0 \lor x = 2

Solución real

S = {0,2}

Ejercicio 35

Exponente negativo

5^{x - 1} = \frac{1}{25}

Ver solución paso a paso

1.Expresamos la fracción como potencia de 5.

\frac{1}{25} = 5^{- 2}

2.Igualamos exponentes.

x - 1 = - 2

3.Despejamos.

x = - 1

Solución real

S = {- 1}

Ejercicio 36

Bases distintas reducibles a 2

4^{x} = 8^{x - 1}

Ver solución paso a paso

1.Escribimos ambas bases como potencias de 2.

(2^{2})^{x} = (2^{3})^{x - 1}

2.Multiplicamos los exponentes.

2^{2 x} = 2^{3 x - 3}

3.Igualamos exponentes y despejamos.

2 x = 3 x - 3 \Rightarrow x = 3

Solución real

S = {3}

Ejercicio 37

Factor común exponencial

2^{x} + 2^{x + 1} = 24

Ver solución paso a paso

1.Descomponemos 2^(x + 1) = 2 · 2^x.

2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = 24

2.Extraemos 2ˣ como factor común.

2^{x} (1 + 2) = 24

3.Despejamos la potencia.

2^{x} = 8 = 2^{3}

4.Igualamos exponentes.

x = 3

Solución real

S = {3}

Consejo del profesor: En un cambio t = aˣ con a > 0 y a ≠ 1, siempre se cumple t > 0.

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Bloque 8 de 8 · Intermedio y avanzado · 4.º ESO y Bachillerato

8. Ecuaciones con valor absoluto

Recuerda que el valor absoluto representa una distancia y nunca es negativo. Puedes plantear casos según el signo de la expresión interior.

Ejercicio 38

Valor absoluto elemental

| x - 3 | = 5

Ver solución paso a paso

1.La igualdad |A| = 5 implica A = 5 o A = −5.

x - 3 = 5 \lor x - 3 = - 5

2.Resolvemos las dos ecuaciones lineales.

x = 8 \lor x = - 2

Solución real

S = {- 2,8}

Ejercicio 39

Valor absoluto de una expresión lineal

| 2 x + 1 | = 3

Ver solución paso a paso

1.Planteamos los dos casos.

2 x + 1 = 3 \lor 2 x + 1 = - 3

2.Restamos 1 y dividimos entre 2.

x = 1 \lor x = - 2

Solución real

S = {- 2,1}

Ejercicio 40

Valor absoluto con variable al otro lado

| x - 2 | = x + 1

Ver solución paso a paso

1.El segundo miembro debe ser no negativo.

x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 1

2.Caso 1, x ≥ 2: resolvemos x − 2 = x + 1, que es imposible.

- 2 = 1

3.Caso 2, x < 2: resolvemos 2 − x = x + 1.

1 = 2 x \Rightarrow x = \frac{1}{2}

4.El candidato cumple x < 2 y x ≥ −1; al sustituir.

| \frac{1}{2} - 2 | = \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 1

Solución real

S = {\frac{1}{2}}

Ejercicio 41

Igualdad de dos valores absolutos

| x + 1 | = | 2 x - 3 |

Ver solución paso a paso

1.Dos valores absolutos son iguales si sus interiores coinciden o son opuestos.

x + 1 = 2 x - 3 \lor x + 1 = - (2 x - 3)

2.Primer caso.

x + 1 = 2 x - 3 \Rightarrow x = 4

3.Segundo caso.

x + 1 = - 2 x + 3 \Rightarrow x = \frac{2}{3}

4.Ambas soluciones verifican la igualdad original.

x = 4 \lor x = \frac{2}{3}

Solución real

S = {\frac{2}{3}, 4}

Ejercicio 42

Dos valores absolutos: resolución por intervalos

| x - 1 | + | x + 2 | = 5

Ver solución paso a paso

1.Los puntos que cambian los signos son −2 y 1; separamos la recta en tres tramos.

x < - 2, - 2 \leq x < 1, x \geq 1

2.Si x < −2: ambas expresiones son negativas.

(1 - x) + (- x - 2) = 5 \Rightarrow x = - 3

3.Si −2 ≤ x < 1: la primera es negativa y la segunda no.

(1 - x) + (x + 2) = 3 \neq 5

4.Si x ≥ 1: ambas expresiones son no negativas.

(x - 1) + (x + 2) = 5 \Rightarrow x = 2

5.−3 y 2 pertenecen a sus tramos y verifican la ecuación.

x = - 3 \lor x = 2

Solución real

S = {- 3,2}

Consejo del profesor: En una ecuación |A| = B es necesario que B ≥ 0 antes de plantear A = B o A = −B.

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Cómo saber qué método usar en una ecuación

Reconocer la estructura antes de calcular evita errores y ahorra tiempo en un examen:

Segundo grado: fórmula general, factor común o diferencia de cuadrados.
Grado superior: factorizar mediante agrupación, identidades o Ruffini.
Bicuadradas y bicúbicas: cambio de variable para llegar a una cuadrática.
Racionales: restricciones del dominio, mínimo común múltiplo y comprobación.
Irracionales: aislar el radical, elevar al cuadrado y verificar cada candidato.
Logarítmicas: dominio positivo, propiedades y paso a forma exponencial.
Exponenciales: bases comunes o sustitución de potencias.
Valor absoluto: estudiar los signos y resolver los casos compatibles.

Preguntas frecuentes sobre ecuaciones

¿Qué ecuaciones se estudian en 4.º de ESO?

Se trabajan especialmente las ecuaciones de segundo grado, algunas polinómicas de grado superior y las racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas según el currículo y la programación del centro. En Bachillerato se profundiza en los procedimientos y en los casos con más restricciones.

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación bicuadrada y una bicúbica?

Una bicuadrada tiene normalmente términos en cuarta y segunda potencia (además del término independiente), y se sustituye la segunda potencia por una nueva variable. En una bicúbica ocurre algo similar con las potencias sexta y tercera. En ambos casos la ecuación auxiliar es de segundo grado.

¿Por qué hay que comprobar una ecuación irracional o racional?

Porque elevar al cuadrado puede introducir candidatos que no satisfacen la igualdad inicial y porque al eliminar denominadores pueden aparecer valores que hacen que alguna fracción original no esté definida.

¿Cómo puedo mejorar al resolver ecuaciones en un examen?

Clasifica primero la ecuación, escribe sus condiciones de existencia, aplica el método correspondiente y revisa el resultado. Practicar con soluciones ocultas ayuda a descubrir si controlas el procedimiento sin mirar la respuesta.

¿Dónde encontrar apoyo de Matemáticas en Salamanca?

En Academia Compartetusclases ofrecemos apoyo de Matemáticas para ESO y Bachillerato, con clases presenciales en Salamanca y opciones online. Puedes plantearnos el curso, el temario y las dificultades concretas para recibir orientación.

Sigue practicando Matemáticas con nuestros recursos

Si necesitas afianzar las herramientas que aparecen en estas ecuaciones, continúa con estos materiales publicados por Compartetusclases:

¿Necesitas ayuda con las ecuaciones?

Entender una ecuación es más útil que memorizar su solución. En Compartetusclases, tu academia en Salamanca, trabajamos Matemáticas de ESO y Bachillerato con práctica guiada, seguimiento y preparación de exámenes. Puedes consultarnos por clases de refuerzo presenciales u online.

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Ejercicios de Ecuaciones 4º ESO y Bachillerato

Ecuaciones resueltas paso a paso: 42 ejercicios de 4.º ESO y Bachillerato

1. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

2. Ecuaciones de grado superior factorizables

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

3. Ecuaciones bicuadradas y bicúbicas

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17

4. Ecuaciones racionales con fracciones algebraicas

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

5. Ecuaciones irracionales con radicales

Ejercicio 23

Ejercicio 24

Ejercicio 25

Ejercicio 26

Ejercicio 27

6. Ecuaciones logarítmicas

Ejercicio 28

Ejercicio 29

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

7. Ecuaciones exponenciales

Ejercicio 33

Ejercicio 34

Ejercicio 35

Ejercicio 36

Ejercicio 37

8. Ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 38

Ejercicio 39

Ejercicio 40

Ejercicio 41

Ejercicio 42

Cómo saber qué método usar en una ecuación

Preguntas frecuentes sobre ecuaciones

¿Qué ecuaciones se estudian en 4.º de ESO?

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación bicuadrada y una bicúbica?

¿Por qué hay que comprobar una ecuación irracional o racional?

¿Cómo puedo mejorar al resolver ecuaciones en un examen?

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