Solución

a) Discusión por rangos usando determinantes

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Por tanto, \(|A|=0\) si y solo si \(m=2\) o \(m=5\).

Caso 1: \(m\neq 2,5\)

Si \(m\neq 2,5\), entonces \(|A|\neq 0\). Por tanto, \(\operatorname{rg}(A)=3\). Como \(A\) está contenida en \(A^*\), se tiene también \(\operatorname{rg}(A^*)=3\).

Caso 2: \(m=2\)

Sustituyendo \(m=2\):

Como \(|A|=0\), el rango de \(A\) no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

Luego \(\operatorname{rg}(A)=2\). En la matriz ampliada, tomando las columnas 1, 2 y 4:

Por tanto, \(\operatorname{rg}(A^*)=3\).

Caso 3: \(m=5\)

Sustituyendo \(m=5\):

Como \(|A|=0\), estudiamos un menor de orden 2:

Luego \(\operatorname{rg}(A)=2\). En la ampliada, todos los menores de orden 3 son nulos, por lo que \(\operatorname{rg}(A^*)=2\).

b) Resolución para \(m=3\)

Como \(|A|=(3-5)(3-2)=-2\neq 0\), el sistema tiene solución única. Sustituyendo \(m=3\):

Sumamos la primera y la tercera ecuación:

Con \(x=0\), de la tercera ecuación queda \(2y+z=1\), y de la segunda queda \(5y+2z=4\). Resolvemos:

De la primera, \(z=1-2y\). Sustituyendo en la segunda:

Entonces \(z=1-2\cdot 2=-3\).

Solución

a) Cálculo de \(A\)

Transponemos ambos miembros:

Llamamos \(C=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\). Entonces \(AB=C\), y para despejar \(A\) multiplicamos por la derecha por \(B^{-1}\):

Calculamos la inversa de \(B\):

Por tanto:

b) Cálculo de \(x,y,z\)

Restamos la identidad en ambos miembros:

Llamamos \(N=\begin{pmatrix}1&0\\-1&3\end{pmatrix}\). Entonces:

Como \(N\neq 0\), necesariamente \(z\neq 0\). Por tanto:

Calculamos \(N^{-1}\):

Así:

Pero también \(M=\begin{pmatrix}3&x\\ y&z\end{pmatrix}\). Igualando entradas:

De \(3=3z\), se obtiene \(z=1\). Luego \(x=0\) y \(y=1\).

Solución del Problema 2A

a) Integral definida

Primero escribimos el integrando usando potencias:

Integramos término a término:

Evaluamos entre 0 y 1:

b) Existencia y unicidad de la raíz

La función \(f(x)=2-e^x\) es continua en \(\mathbb{R}\), porque \(e^x\) lo es. Estudiamos los valores en 0 y 1:

Como \(f\) es continua en \([0,1]\) y cambia de signo, por el teorema de Bolzano existe al menos una raíz en \((0,1)\).

Ahora estudiamos la derivada:

Por tanto, \(f\) es estrictamente decreciente en todo \(\mathbb{R}\). Una función continua y estrictamente monótona solo puede cortar al eje \(X\) una vez, luego la raíz es única.

Además, podemos calcularla:

Solución del Problema 2B

a) Estudio de la función

Dominio. Como \(e^x>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), se tiene \(1+e^x>0\). Por tanto, el denominador nunca se anula.

Monotonía. Derivamos:

Como \(e^x>0\) y \((1+e^x)^2>0\), entonces \(f'(x)<0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\). Luego \(f\) es estrictamente decreciente.

Asíntotas.

No hay asíntotas verticales porque el dominio es todo \(\mathbb{R}\) y el denominador no se anula. Tampoco hay asíntotas oblicuas, porque los límites en \(\pm\infty\) son finitos.

Extremos relativos. Como \(f'(x)<0\) para todo \(x\), la función es estrictamente decreciente y la derivada no se anula. Por tanto, no tiene extremos relativos.

b) Integral trigonométrica

Usamos el cambio \(u=\sen x\), de modo que \(du=\cos x\,dx\). Cuando \(x=0\), \(u=0\); cuando \(x=\frac{\pi}{2}\), \(u=1\).

Solución

a) Planos paralelos y distintos

Un vector normal de \(\pi_1\) es:

Un vector normal de \(\pi_2\) se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores:

Para que los planos sean paralelos, sus vectores normales deben ser proporcionales:

Igualando coordenadas:

De \(-3=3\lambda\), resulta \(\lambda=-1\). Entonces, de \(2=\lambda b\), tenemos \(2=-b\), luego \(b=-2\). La tercera ecuación también se cumple, porque \(1=-(-1)\).

Con \(b=-2\), el plano \(\pi_2\) tiene normal \((2,-3,1)\) y pasa por \(P(0,2,4)\). Su ecuación es:

Así, \(\pi_1:2x-3y+z=a\) y \(\pi_2:2x-3y+z=-2\) son paralelos. Para que sean distintos, sus términos independientes deben ser distintos.

b) Recta intersección para \(a=1\) y \(b=0\)

En este caso:

Como \(b=0\), el plano \(\pi_2\) está determinado por \(P(0,2,4)\), \(\vec v_1=(0,2,6)\) y \(\vec v_2=(1,0,0)\). Sus ecuaciones paramétricas son:

Para obtener la recta intersección, imponemos que estos puntos cumplan \(\pi_1\):

Por tanto, dejando \(s\) libre:

Equivalente, haciendo \(\lambda=2s\):

c) Puntos a igual distancia para \(a=4\) y \(b=-2\)

Los planos son:

Se puede resolver siguiendo la posición de los planos y diciendo que el plano que cumple esa condición de que se encuentra a la misma distancia de ambos es el plano que ocupa la posición media entre los doas, usando Simetría. Aquí está resuelto por distancias. La distancia de un punto \((x,y,z)\) a un plano \(Ax+By+Cz+D=0\) es:

Igualamos las distancias a ambos planos:

Llamamos \(u=2x-3y+z\). Entonces:

Elevando al cuadrado:

Por tanto, el lugar geométrico de los puntos equidistantes es el plano medio:

Solución del Problema 4A

Definimos los sucesos:

• \(A\): móvil de marca \(A\).
• \(N\): móvil de marca \(N\).
• \(M\): móvil de marca \(M\).
• \(S\): el móvil tiene instalado el software espía.

a) Probabilidades deducidas del enunciado

Las probabilidades no condicionadas son:

Las probabilidades condicionadas de tener el software instalado son:

También se deducen las probabilidades condicionadas complementarias:

A partir de ellas, se pueden obtener las probabilidades conjuntas:

b) Probabilidad de que un móvil tenga instalado el software espía

Aplicamos la ley de la probabilidad total:

c) Probabilidad de que sea de la marca \(A\) sabiendo que tiene software espía

Aplicamos el teorema de Bayes:

Simplificando:

Solución del Problema 4B

Como las extracciones son sucesivas y sin reemplazamiento, después de sacar la primera ficha queda una ficha menos en la bolsa.

• Múltiplos de 3 entre 1 y 20: \(3,6,9,12,15,18\). Hay 6.
• Múltiplos de 6 entre 1 y 20: \(6,12,18\). Hay 3.
• Números impares entre 1 y 20: hay 10.

a) Ambos números múltiplos de 3

Para que ambos sean múltiplos de 3, primero debe salir uno de los 6 múltiplos de 3. Como no hay reemplazamiento, después quedan 5 múltiplos de 3 entre 19 fichas.

b) Primero múltiplo de 6 y segundo múltiplo de 3

Primero debe salir un múltiplo de 6. Hay 3 posibles: \(6,12,18\). Todos ellos son también múltiplos de 3, por lo que, al extraer uno, quedan 5 múltiplos de 3 entre 19 fichas.

c) Ninguno de los dos números múltiplo de 2

Que ninguno sea múltiplo de 2 significa que ambos números son impares. Hay 10 impares entre 1 y 20; después de sacar uno, quedan 9 impares entre 19 fichas.

d) Segunda ficha impar sabiendo que la primera también lo ha sido

Es una probabilidad condicionada. Si sabemos que la primera ficha ha sido impar, entonces quedan 19 fichas, de las cuales 9 son impares.