Test de álgebra de 2.º de Bachillerato: matrices, determinantes y sistemas
Practica el bloque de álgebra de Matemáticas II con 20 ejercicios tipo test para preparar la PAU 2027 y las PCE UNEDasiss. Elige una respuesta en cada pregunta, pulsa «Corregir test» y consulta todas las soluciones explicadas paso a paso.
¿Necesitas repasar operaciones con matrices, rango, matrices inversas, determinantes, discusión de sistemas con parámetros o los métodos de Gauss y Cramer? Este cuestionario gratuito combina cálculo y razonamiento, desde ejercicios básicos hasta cuestiones más exigentes habituales en el aprendizaje del álgebra de 2.º de Bachillerato.
Bloque 1 · Matrices y operaciones
Suma, producto, transpuesta, inversa, ecuaciones matriciales y rango.Respuesta correcta: B. Solución paso a paso
Primero multiplicamos cada elemento de \(A\) por 2:
\[2A=\begin{pmatrix}2&4\\-2&6\end{pmatrix}.\]Después restamos las matrices elemento a elemento:
\[2A-B=\begin{pmatrix}2-2&4-(-1)\\-2-4&6-0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}0&5\\-6&6\end{pmatrix}}.\]Clave: restar un número negativo equivale a sumar; por eso la entrada superior derecha es \(4-(-1)=5\).
Respuesta correcta: C. Solución paso a paso
En el producto de matrices, cada elemento se obtiene multiplicando una fila de la primera por una columna de la segunda:
\[AB=\begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot3 & 1\cdot0+2\cdot1\\ 0\cdot2+(-1)\cdot3 & 0\cdot0+(-1)\cdot1 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}8&2\\-3&-1\end{pmatrix}}.\]No debemos confundir \(AB\) con \(BA\): en general, el producto de matrices no es conmutativo.
Respuesta correcta: A. Solución paso a paso
Para multiplicar \(A_{m\times n}B_{p\times q}\), el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda: \(n=p\).
\[(2\times\underbrace{3})\,(\underbrace{3}\times4)\longrightarrow\boxed{2\times4}.\]En cambio, \(BA\) intentaría multiplicar una matriz \(3\times4\) por otra \(2\times3\). Como \(4\ne2\), el producto \(BA\) no existe.
Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
La transpuesta de un producto se calcula transponiendo los dos factores e invirtiendo el orden:
\[\boxed{(AB)^T=B^TA^T}.\]Por ejemplo, si \(A\) tiene orden \(2\times3\) y \(B\), \(3\times2\), entonces \(AB\) es \(2\times2\). Su transpuesta también es \(2\times2\). Precisamente, \(B^T\) tiene orden \(2\times3\) y \(A^T\), \(3\times2\), por lo que \(B^TA^T\) es \(2\times2\).
Error típico: mantener el orden \(A^TB^T\).
Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
Para una matriz de orden 2, usamos:
\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.\]El determinante de \(A\) es \(2\cdot3-1\cdot5=1\ne0\), por lo que existe la inversa:
\[A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}}.\]Podemos comprobar el resultado mediante \(AA^{-1}=I_2\).
Respuesta correcta: B. Solución paso a paso
Despejamos respetando el orden de la multiplicación matricial:
\[AX=C-B\quad\Rightarrow\quad X=A^{-1}(C-B).\]Calculamos:
\[C-B=\begin{pmatrix}4&2\\3&0\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.\]Multiplicamos por la izquierda:
\[X=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\3&0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}}.\]Comprobación: \(AX+B=\begin{pmatrix}4&2\\3&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=C\).
Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
Aplicamos dos operaciones elementales que no modifican el rango: \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-F_1\).
\[A(t)\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&t-1&0\\0&0&t-1\end{pmatrix}.\]Si \(t=1\), las dos últimas filas son nulas y la primera no lo es, así que \(\boxed{\operatorname{rg}(A)=1}\).
Si \(t\ne1\), la matriz escalonada posee tres pivotes no nulos; su rango es 3. No existe un valor para el que el rango sea 2.
Bloque 2 · Determinantes
Cálculo, propiedades, parámetros y cofactores.Respuesta correcta: A. Solución paso a paso
Desarrollamos por la primera fila (el tercer elemento es 0 y no contribuye):
\[\begin{aligned} |A|&=1\begin{vmatrix}3&1\\0&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0&1\\2&1\end{vmatrix}+0\\ &=1(3\cdot1-1\cdot0)-2(0\cdot1-1\cdot2)\\ &=3-2(-2)=\boxed{7}. \end{aligned}\]Recuerda: los signos de los cofactores siguen el patrón \(+,-,+\) en la primera fila.
Respuesta correcta: C. Solución paso a paso
Una propiedad fundamental de los determinantes dice que intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
\[\det(A’)=-\det(A)=-(-4)=\boxed{4}.\]La propiedad vale para matrices cuadradas de cualquier orden. No debe confundirse con multiplicar una fila por una constante, que multiplica el determinante por esa misma constante.
Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
Al multiplicar una matriz de orden \(n\) por un escalar \(k\), se multiplica cada una de sus \(n\) filas por \(k\). Por eso:
\[\det(kA)=k^n\det(A).\]Como \(n=3\), \(k=3\) y \(\det(A)=2\):
\[\det(3A)=3^3\cdot2=27\cdot2=\boxed{54}.\]Error habitual: hacer \(3\cdot2=6\), olvidando que el factor aparece una vez por cada fila.
Respuesta correcta: B. Solución paso a paso
Usamos tres propiedades:
\[\det(MN)=\det(M)\det(N),\qquad\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)},\qquad\det(B^T)=\det(B).\]Sustituyendo los valores:
\[\begin{aligned} \det(A^{-1}B^T)&=\det(A^{-1})\det(B^T)\\ &=\frac{1}{-2}\cdot3=\boxed{-\frac32}. \end{aligned}\]La transposición no altera el determinante, pero la inversión hace que pase a su recíproco.
Respuesta correcta: C. Solución paso a paso
Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.
Desarrollamos por la tercera fila (solo tiene un elemento no nulo):
\[\det A(t)=2\begin{vmatrix}t&1\\1&t\end{vmatrix}=2(t^2-1)=2(t-1)(t+1).\]Se anula cuando \(t=1\) o \(t=-1\). Por tanto:
\[\boxed{A(t)\text{ es invertible si }t\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}.}\]Importante: en los dos valores excluidos, la matriz es singular.
Respuesta correcta: B. Solución paso a paso
La adjunta clásica es la transpuesta de la matriz de cofactores. Por tanto, su elemento \((2,1)\) es el cofactor \(C_{12}\) de la matriz original:
\[(\operatorname{adj}A)_{21}=C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}.\]Para obtener \(M_{12}\), suprimimos la primera fila y la segunda columna:
\[M_{12}=\begin{vmatrix}0&3\\2&1\end{vmatrix}=0\cdot1-3\cdot2=-6.\]El signo del cofactor es negativo porque \(1+2=3\) es impar:
\[C_{12}=-(-6)=\boxed{6}.\]Atención: no confundas el menor (\(-6\)) con el cofactor (\(+6\)).
Bloque 3 · Sistemas de ecuaciones lineales
Gauss, Cramer, Rouché-Fröbenius, discusión y problemas.Respuesta correcta: C. Solución paso a paso
Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\):
\[(2x+y)+(x-y)=7+2\quad\Rightarrow\quad3x=9\quad\Rightarrow\quad x=3.\]Sustituimos en la segunda ecuación:
\[3-y=2\quad\Rightarrow\quad y=1.\]La solución es \(\boxed{(x,y)=(3,1)}\). Comprobación: \(2\cdot3+1=7\) y \(3-1=2\).
Respuesta correcta: A. Solución paso a paso
Usamos el método de Gauss. Restamos dos veces la primera ecuación a la segunda y la primera a la tercera:
\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\2&-1&1&-1\\1&2&-1&6\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&-3&-1&-5\\0&1&-2&4\end{array}\right].\]Las dos últimas ecuaciones quedan \(-3y-z=-5\) e \(y-2z=4\). De la última, \(y=4+2z\). Sustituimos:
\[-3(4+2z)-z=-5\Rightarrow -7z=7\Rightarrow z=-1.\]Entonces \(y=4+2(-1)=2\) y, por la primera ecuación, \(x=2-2-(-1)=1\).
\[\boxed{(x,y,z)=(1,2,-1)}.\]Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
Si multiplicamos la primera ecuación por 2, obtenemos:
\[2x+2y=4.\]Sin embargo, la segunda exige \(2x+2y=5\). Es imposible que una misma expresión valga 4 y 5 al mismo tiempo.
Por tanto, el sistema es \(\boxed{\text{incompatible (SI)}}\): no tiene solución. Geométricamente representa dos rectas paralelas distintas.
Respuesta correcta: A. Solución paso a paso
La matriz de coeficientes es \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&k\end{pmatrix}\). Su determinante es:
\[\det A=k-2.\]Caso 1: \(k\ne2\). El determinante no es cero. El sistema tiene una única solución (SCD); de hecho, \((x,y)=(2,0)\) la satisface.
Caso 2: \(k=2\). La segunda ecuación es \(2x+2y=4\), exactamente el doble de la primera. Hay infinitas soluciones (SCI):
\[(x,y)=(2-t,t),\quad t\in\mathbb R.\]Por tanto, \(\boxed{k=2\Rightarrow\mathrm{SCI};\quad k\ne2\Rightarrow\mathrm{SCD}}\).
Respuesta correcta: C. Solución paso a paso
La matriz de coeficientes y el vector de términos independientes son:
\[A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}.\]Calculamos el determinante principal:
\[\det A=1(1)-1(0-1)=2\ne0.\]Para hallar \(x\), sustituimos la primera columna de \(A\) por \(b\):
\[A_x=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&1&1\\5&0&1\end{pmatrix},\qquad\det(A_x)=1-\big(2-5\big)=4.\]Aplicamos la regla de Cramer:
\[\boxed{x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac42=2}.\]Las otras incógnitas son \(y=-1\) y \(z=3\), que verifican todas las ecuaciones.
Respuesta correcta: D. Solución paso a paso
La segunda ecuación es el doble de la primera, de modo que no aporta una condición nueva. La tercera es independiente de la primera.
Por ello, el rango de la matriz de coeficientes es 2 y también el de la ampliada: \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3\) (tres incógnitas).
Por Rouché-Fröbenius el sistema es compatible indeterminado. De \(x-y=0\) deducimos \(x=y\). Si tomamos \(z=t\), la primera ecuación queda:
\[2x+t=2\Rightarrow x=y=1-\frac t2.\]Así, el conjunto de soluciones es:
\[\boxed{(x,y,z)=\left(1-\frac t2,1-\frac t2,t\right),\quad t\in\mathbb R}.\]Respuesta correcta: B. Solución paso a paso
Definimos \(b\) = cuadernos básicos, \(i\) = intermedios, \(a\) = avanzados.
Traducimos los datos del enunciado a un sistema de tres ecuaciones:
\[\begin{cases}b+i+a=30\\2b+4i+5a=96\\b=2a\end{cases}.\]Sustituimos \(b=2a\) en la primera: \(i=30-3a\). Sustituimos ambas expresiones en la recaudación:
\[2(2a)+4(30-3a)+5a=96.\] \[4a+120-12a+5a=96\Rightarrow -3a=-24\Rightarrow a=8.\]Luego \(b=2\cdot8=16\) e \(i=30-3\cdot8=6\).
\[\boxed{(b,i,a)=(16,6,8)}.\]Comprobamos que son 30 cuadernos y \(16\cdot2+6\cdot4+8\cdot5=96\) €.
Puedes corregir aunque queden preguntas en blanco. Todas las soluciones se mostrarán al corregir.
Cómo preparar el álgebra de Matemáticas II para PAU y PCE
Si has cometido errores en matrices, repasa el orden de multiplicación, las dimensiones y el cálculo de inversas. En determinantes, practica el desarrollo por cofactores y las propiedades antes de realizar operaciones largas. En sistemas de ecuaciones, acostúmbrate a justificar la clasificación (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) antes de resolver.
Para afrontar con seguridad los ejercicios de acceso a la universidad, conviene escribir los pasos intermedios, comprobar sustituciones y estudiar por separado los valores del parámetro que anulan un determinante. Este test te permite detectar exactamente qué procedimiento necesitas reforzar.
Preguntas frecuentes
¿Qué contenidos de álgebra debo estudiar para la PAU y las PCE?
Dentro de Matemáticas II conviene dominar operaciones con matrices, transpuestas e inversas, rango, determinantes, sistemas lineales, métodos de Gauss y Cramer, clasificación y discusión de sistemas con parámetros. Comprueba siempre la guía oficial aplicable a tu convocatoria.
¿Este test tiene el mismo formato que el examen oficial?
No. Las 20 preguntas con cuatro opciones constituyen un recurso de autoevaluación. La PAU de Castilla y León y las PCE de UNEDasiss pueden tener formatos distintos y sus criterios de calificación oficiales deben consultarse por separado.
¿Se muestran todas las soluciones, incluso si no respondo?
Sí. Al pulsar «Corregir test» verás la respuesta correcta y la resolución razonada de las 20 preguntas, tanto las acertadas como las falladas o dejadas en blanco.
¿Cómo se calcula la nota de este cuestionario?
Cada respuesta correcta cuenta un punto. La nota de práctica es el número de aciertos dividido entre 20 y multiplicado por 10. Las respuestas incorrectas y las preguntas sin contestar no restan puntos. No es la nota oficial de ninguna convocatoria.
Referencias de convocatoria: consulta la guía oficial de calificación de Matemáticas II para PAU en Castilla y León (2026) y la información oficial de asignaturas y modelos PCE de UNEDasiss (2026). Este material didáctico original se ofrece como preparación del curso 2026-2027; verifica los documentos definitivos de tu examen.